固体力学是连续介质力学的一个分支，主要内容是研究固体材料的行为，它在地质、土木、机械工程以及材料科学等物理学的许多分支上有着重要应用。无论从微尺度还是现实物体的尺度，固体力学的经典理论都被证实是非常有效地。然而经典理论不能直接应用到裂缝和断层上，因为经典理论是建立在物体内介质连续的假设之上的，它总假设介质内部所有的内部力均为接触力。而满足这些假设的模型描述，反映在数学上就是偏微分方程。这时为了使得偏微分方程在强形式或弱形式下有意义，就需要固体的形变需要保持充分的光滑，而这个要求在很多时候是无法满足的，譬如遇到断裂、裂缝等奇性问题时。　　 为解决上述问题，2000年Silling[53]提出了一种叫做peridynamics的非局部扩散模型，在这个模型框架里，物体内部的力不再是接触力，对物体内部一个点而言，他周围的区域内物质对它都有作用力。当然，随着距离增加这个作用力不断减小，因此很多模型里把这个区域看成一个有限的影响区域。从这个角度，它也被看做是分子动力学的连续介质版本。该模型可以将连续介质、裂缝、粒子统一在一个数学模型框架下进行处理。事实上，描述弹性介质之间长距离相互作用的非局部理论已经被提出来一段时间了[10，28，27，29，30，43，44，50]。然而过去几年间，这种peridynamic模型迅速成为了非局部理论中热点问题。经过一段时间的发展，非局部扩散模型已经在包括复合材料的断裂、裂缝的不稳定、多晶体的断裂和纳米纤维网络等很多有意义的领域展示出了它的有效性。关于个新模型框架在最近几年的一些应用和理论进展，读者可以参考[3，6，7，14，18，24，26，31，32，39，41，46，47，53，51，54，59，55，57，56，52，58，60，62].更近的一段时间里，关于这个新模型的严格数学分析也受到了很多关注[39，23，20，21，65]。关于非局部理论在固体力学和在破坏问题上的应用可以参考[2，9，19，1，42，45，61，64]。近期的其他一些关于非局部理论在弹性力学和断裂力学上的应用的文章可以参考[16，22，25，35，33，36，34，37，49]。　　 非局部扩散理论对包括间断或其他奇性的连续体的变形问题给出一个恰当的描述，而这一问题在经典理论下无法给出恰当描述的。模型提出之后，很多数值方法包括无网格方法、有限元方法[15，24，47]都被提出来求解这个新模型。特别的已经证明在有限元方法下，数值解具有近似最优阶的误差估计[23，65]。然而这些数值方法都面临一个问题:因为新模型的的非局部特性，所以相应的系数矩阵会是密集矩阵甚至于满阵。如果应用传统的高斯型直接算子来求解这些问题，那么会产生O(N3)的计算量以及O(N2)的内存需求，这里O(N)是问题的自由度。相比于经典偏微分方程对应的稀疏刚度矩阵，非局部模型实际上是一个对计算量和内存非常大的挑战，特别是处理高维模型的时候。因此可以知道，相比于经典模型，新模型固然有种种的优势，不过也付出了计算量和内存需求剧增的代价。　　 一个关于peridynamic模型的简化版本曾被提出来，这个模型的简化之处在于假设物质的影响区域大小ε=O(N-1)，这样计算量和内存需求可以被降到O(N)。这样做的好处是很明显的，极大地降低了计算量。但它的缺点是相应的误差估计会降一阶，不再保持近似最优阶[15]。而且这个假设ε=O(N-1)在物理上也不是那么合理的，因为影响区域的大小ε应该是介质的物理性质，而不应该与我们人为给定的计算网格大小有关。而我们希望提高计算效率和存储效率，应建立在保持计算精度、不失模型合理性的基础上。　　 基于以上考虑，在本文中我们提出了一系列快速算法。首先，针对一维的微弹性稳态线性全局扩散模型，研究了它的快速Galerkin方法。利用刚度矩阵的对称、类-Toeplitz结构和快速傅里叶变换，快速方法将共轭梯度法中每次迭代的计算量由O(N2)降为O(NlogN)，并将内存需求由O(N2)降为O(N)。　　 考虑到在N维问题相应的有限元方法中，刚度矩阵的每个元素都是一个2N重数值积分，显然这会使得刚度矩阵的配置变成一个非常大的计算负担，在实际求解过程中，我们发现这实际上占到了整体计算量中非常大的一部分。为解决这一问题，我们提出了一种针对非局部扩散模型的配置法，将2N重数值积分降为N重数值积分，同时还保持了刚度矩阵的类Toeplitz结构，从而使得在每次迭代中我们可以应用快速矩阵-向量乘积。针对影响区域半径ε取有限值或无穷的情况，我们发现矩阵分别满足Toeplitz结构或类Toeplitz结构，据此我们提出了相应的快速Krylov子空间迭代法，这样新的快速算法在不损失任何精度或降低收敛阶的情况下，将计算量由传统方法的O(N3)降为快速方法的O(Nlog2N)，并且将内存需求由O(N2)降为O(N).该方法导致的计算量和内存需求的急剧下降在文中的数值算例中得到了很好的反映。　　 同时，我们还考察了非一致网格上的快速方法。我们设计了一类特殊的非一致网格，几何衰减网格。并在该类型网格上应用配置法，通过研究我们发现相应的系数矩阵可以被分裂成一个非对称Toeplitz矩阵和一个稀疏矩阵，从而我们提出了快速扩展最小余量算法(GMRES)，从而将快速配置法推广到了非一致网格上。另外，我们将此快速配置法，推广到了两维的模型以及具有一般核函数的非局部扩散模型，并且证明了在这些情况下，刚度矩阵有块-Toeplitz-Toeplitz-块结构，在三维情况下为块-Toeplitz-块-Toeplitz-Toeplitz-块结构，这样的结构结合两维或三维快速傅里叶变换，我们可以得到相应的高维快速配置法。　　 本文围绕着对非局部扩散模型的快速算法的研究而展开。我们主要讨论了一维情况下微弹性线性全局扩散模型的快速有限元法，以及一维二维三维情况下的快速配置法。然后我们将该快速配置算法推广到了具有一般核函数的模型上，并证明了在上述情况下，矩阵结构依然保持，快速算法依然有效。最后我们给出了一系列的数值算例，展示了快速方法确实极大地提高了问题的计算效率和存储效率。　　 本文的组织结构如下:　　 在第一章中，我们提出了本文要讨论的非局部扩散模型，介绍了其物理背景。然后我们讨论了模型的非局部性质，并给出了本文提出快速算法的动机。然后我们介绍了之前的一些理论工作，包括误差估计，以及不同核函数下对应解空间与Sobolev空间的等价性。　　 在第二章中，我们首先针对全局扩散模型，提出了一致网格下的快速有限元方法，利用刚度矩阵的类Toeplitz结构，快速有限元方法将问题的计算量从直接算子下的O(N3)降到O(Nlog2N)，内存需求由O(N2)降到O(N)。随后我们给出了数值实验证明快速方法非常有效，极大地提高了计算效率和存储效率，并且保持了精度。　　 在第三章中，考虑到非局部模型的有限元方法中刚度矩阵的每个元素，都需要求解一个二重数值积分，这会使得配置刚度矩阵成为一个非常大的计算负担，因此在这部分我们给出了快速配置法，进一步地，我们提出了在几何衰减网格下的快速配置法，证明了在不一致网格下也可以应用快速算法。　　 在第四章中，我们将第三章中提出的快速配置法推广到了两维和具有一般核函数的模型上。针对二维的非局部扩散模型，我们分别考察了有限影响域Bδ为圆形和方形情况下的配置法，发现无论是针对何种影响域以及何种形式的核函数，我们发现其相应的刚度矩阵保持Toeplitz-块-块-Toeplitz结构，进而据此提出了相应的快速算法。其后的一系列数值试验证实了我们的结论。　　 在第五章中我们将上述快速配置法推广到实际中应用到的三维的情形，通过考察刚度矩阵的结构，我们发现其相应的刚度矩阵为Toeplitz-块-Toeplitz-块-块-Topelitz矩阵，据此，结合三维的快速傅里叶变换，我们提出了快速矩阵向量相乘算法，将共轭梯度法中每次迭代的计算量由O(N2)降为O(logN)，这里N是未知量的数目。