1953年,G.L.Waston利用筛法证明了如下结论：对每一个实数α,令满足(n,[αn])=1的自然数的密度为δ(α).当α为无理数时,有δ(α)=6/π2.当α为有理数时,设α=a/q,这里(a,q)=1,q＞0,则δ(n)的值只依赖于q,此时δ(α)=q-1∑u-1Φ(u)6/π2(q→∞).1999年在布达佩斯举行的主题为“Paul Erdos和他的数学”的会议上,一本名为《Some of Paul’s favorite problems》的小书广为流传.类似于G.L.Waston的文章[1],在文[2]中,Delmer和Deshouillers证明了如下结果：设c＞0是一个非整数实数,则满足(n,[nc])=1的自然数的密度为6/π2.这一结论对上述书中由Moser，Lambek和Paul Erdos所提出的问题134给出了一个肯定的答案.　　设x是一个充分大的实数,令Nc(x)表示不超过x且满足(n,[nc])=1的自然数n的个数,则上述定理可以重述为：Nc(x)=6/π2x+o(x).当01时,文[2]用到了筛法思想,因此用文[3]的方法很难改进上面式子中的余项估计o(x)。　　后来,翟文广在文[4]利用指数和方法证明了如下结果：Nc(x)=6/π2x+O(x(1+λ+2ck)/(2+2k)+ηx2-clogx,这里,c>1,(κ,λ)是满足λ+(2c-2)κ<1的指数对.当12时,η=0.　　本文研究了与[nc1],[nc2]互素的自然数的个数,这里10成立.　　令n>1为整数,a为整数.若存在整数x使得a2x≡a(mod n),并称a模n正则.令(ρ)(n)表示满足1≤a≤n的模几正则的整数a的个数.L.Toth[11]证明了∑(n≤x)ρ(n)/φ(n)=Bx+O(log2x)，这里B=π2/6≈1.6449.　　设r≥1是固定整数.在本文第二部分,我们研究函数(ρ(n)/φ(n))r的均值.我们有：　　定理2设r≥1是固定整数,则有∑(n≤x)(ρ(n)/φ(n))r=Crx+O(log2rx)，这里Cr为常数。