令Z表示全体整数所组成的集合.对集合A(?)Z及n∈Z,令r(A,n)=#{(a,a’)∈A×A:a+a’= n}.函数r(A,n)被称为集合A的加法表示函数.设整数k1,k2满足(k1,k2)=1.对集合A(?)Z及n∈Z,令rk1,k2(A,n)=#{(a,a’)∈A×A:+k1a+k2a’ = n},我们称rk1,k2(A,n)是集合A的权为(k1,k2)的加权表示函数.加法表示函数的研究与著名的Erdos-Turan猜想密切相关.2003年,Nathanson证明在整数集上Erdos-Turan猜想不成立,他构造了集合A(?)Z满足对任意n∈Z,有r(A,n)=1.令K是特征≠2的有限域,加群G=K×K.2004年,Haddad和Helou构造了集合B(?)G满足B+B=G,且对任意g∈G,方程g=b1+b2(b1,b2∈B)解的个数小于18.本文主要工作分为两个部分.第一部分推广了整数集上的加法表示函数的结论,得到如下结论:令函数f:Z→N0∪{∞}满足△=#{f-1(0)}<∞.设整数k1,k2满足(k1,k2)=1且k1k2≠-1.存在无穷多个集合A(?)Z满足对任意n∈Z都有rk1,k2(A,n)=f(n).第二部分推广了Haddad和Helou在特征≠2的有限域变换得到的加群上的结论,得到如下结论:令K是特征≠2的有限域,G=K×K.令k1,K2是不被K的特征p整除的整数且(k1,K2)= 1.对任意g∈G,令,B(?)G,令rk1,k2(B,g)是方程g=k1b1+k2b2解的个数,其中b1,b2∈B存在集合B(?)G使得k1B+k2B=G,且rk1,k2(B,g)≤16.