工程中有许多稳定场的问题都可以归结到求解Laplace方程这一椭圆型偏微分方程的问题。例如弹性杆件的扭转，稳定热传导，稳定流场，电磁场等问题。因此，研究Laplace方程的有效计算方法是一个非常有意义的课题。关于半空间里Laplace方程的研究是计算数学的难点。　　 本文对半平面上Laplace方程Dirichlet问题转化成的第一类边界积分方程以及用单层位势表示原问题的解的可解性做了详细的分析，然后用Green函数法求解出了上半平面Laplace方程Dirichlet问题的Poisson积分公式，求出了问题的解析解，并给出了算例进行计算。另一种方法，采取正切变换把无界域上的边值问题转化成有界域上的问题，然后采用边界元配置法对其进行了具体离散求解，对于对数奇异型的积分核，主要是通过麦克劳林公式和多倍角的余弦公式展开相结合，有效地消除了核奇异的情况，最后利用Matlab数学软件自行编写算法，对Green函数法已算出精确解的同一个例题进行数值实验，验证了配置法的可行性与有效性。