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函数空间理论研究的开始是在Ascoli[1883],Arzela[1889]以及Hadamard[1898]提出在函数集合上构建拓扑的想法以后才正式开始的。在1935年,Tychonorff的文章证明了在Rx中,点收敛拓扑跟Tychonorff拓扑是一样的。很快,Fox定义了紧开拓扑,点收敛拓扑的一种推广。在此之后,越来越多的拓扑学家对函数空间的拓扑性质开始了系统的研究。 在本文中,首先,我们对拓扑函数空间的广义度量性质进行了伸入的研究。自从Ceder于1961年发表了他的著名文章“Some generalizations of metric spaces”,许多拓扑学家都把他们的注意力转移到Mi-空间这一问题的研究上来。十九世纪七十年代,Gruenhage[1976]和Junnila[1978]分别利用不同的方法独立地证明了M3-空间是M2-空间。这一结果激励人们以更大的热情去研究：是否M2-空间也是M1-空间。因为M3-空间就是M2-空间,我们通常把这一问题称为M3(？)M1问题。 最近,Paul M. Gartside和E. A. Reznichenko在他们的关于函数空间的近度量性质的文章中,证明了Ck(P)是M3-空间,这里P是指无理数空间,但是在文章的证明中,很有意思的是,对于证明Ck(P)是M1-空间没有任何的帮助,即使P是σ-紧并且是完全可度量化。后来,G. Gruehage证明了当X为σ-紧的Polish空间时,Ck(X)是M1-空间,并且给出了σ闭包保持的基的构造。在本文中,拓扑空间X均为Tychonorff空间。 在第一章中,主要的结果分为两个方面。首先在第1.3节中,我们利用M3-空间与层化空间等价,从而利用层化的g函数的定义,证明了当X是σ-紧的Polish空间,B是Banach空间时,Ck(X,B)是层化空间,因而是M3-空间。从而知道,如果X是σ-紧的Polish空间,K是紧的拓扑空间,那么Ck(X×K)是M3-空间。并且给出了一个更一般的定理。然后,在第1.4节