在本论文中,我们得到了 n维线性正则变换的Heisenberg不确定性原理,并且利用对称正定矩阵流形的几何平均的定义,推广了熵的不确定性原理.本文的重点总结如下.1.线性正则变换是Fourier变换的推广,它在数学,物理和信息论中都有着很重要的应用.本文中,利用线性正则变换的定义和Fourier变换的Heisenberg不确定性原理,利用积分变换的性质,我们得到了 n维线性正则变换的Heisenberg不确定性原理.通过把线性正则变换的Heisenberg不确定性原理应用到Wigner-Ville分布上,进而得到了 Wigner-Ville分布的一个不确定性原理.线性正则变换的Heisenberg不确定性原理表明这个不确定原理只与矩阵B有关。2.由于线性正则变换是一类特殊的线性算子,并且满足Hausdorff-Young不等式,所以利用典型迹算子的密度及其Rumin共辄的定义,并且利用Riesz-Thorin定理,我们得到了这类线性算子的Tsallis熵不确定性原理.因为Tsallis熵不确定性原理是Shannon熵不确定性原理和Heisenberg不确定性原理的推广,所以在一定条件下,由Tsallis熵不确定性原理可以推导出Shannon熵不确定性原理和Heisenberg不确定性原理。3.对称正定矩阵全体可以形成一个截面曲率非正的黎曼流形,并且在此流形上,连接任意两个对称正定矩阵测地线的中点被定义为此二对称正定矩阵的几何平均.在本文中,利用对称正定矩阵的Peierls-Bogoliubov不等式和典型迹算子的密度及其Ru-min共辄的定义,我们得到了 Renyi熵不确定性原理,然后我们利用Baker-Campbell-Hausdorff公式和对称正定矩阵的几何平均的定义,得到典型迹算子及其Rumin共辄的熵不确定性原理,此定理是经典Shannon熵不确定性原理的推广。4.由于经典的Shannon信息熵是定义在欧氏空间的,并且欧氏空间是一个测地完备的黎曼流形,因而在本文中,我们把Shannon信息熵的定义推广到一般的测地完备的黎曼流形上,并且得到了 Shannon信息熵的一个重要不等式.之后利用一些矩阵函数的单调性,我们得到了对称正定矩阵流形下Shannon信息熵和欧氏流形中Shannon信息熵的一个不等式。