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加倍测度是度量空间上一个比较理想的测度，因此，近几年来加倍测度成为许多学者讨论和研究的新方向，在这个领域已获得了一些很好的结论．
1988年，Volberg 和 Konyagin 证明了紧的加倍度量空间上存在加倍测度．1998 年，Luukkainen 和 Saksman 证明了每个完备的加倍度量空间上存在加倍测度．特别地，R 的每个闭子集上存在加倍测度． 1998年，Wu Jangmei 证明了每个紧的加倍度量空间X，对每个α>0，存在X上的加倍测度μ和X的子集E，使得μ支撑在E上，并且E的α-维豪斯道夫测度为0．
Kaufman 和 Wu 构造了一个紧集 X ?[0，1]，X 的 Hausdouff 维数为log 2/log 3，他们证明了 X 上所有加倍测度都是纯原子的．
更一般地，对每个α∈[0，1]，可类似构造紧集 X<,α>?[0，1]，X<,α>的 Hausdouff维数为α，使得X<,α>上所有的加倍测度都是纯原子的．
本文证明了存在紧集X ?[0，1]，使得dim<,H>X=1，且 X 上所有加倍测度都是纯原子的．
Kaufman 和 Wu 利用 Cantor 集构造了[0，1]上的一个豪斯道夫维数为log 2/log 3，并且有稠密孤立点的紧集X，X上所有加倍测度都不是纯原子的．
本文证明了存在紧集X ?[0，1]，使得 dim<,H> X=0，且 X 上所有加倍测度都不是纯原子的．