近十年THz领域主要的研究目标是研制出小型化、高功率、并能在室温下工作的THz器件。实现这一目标的最佳途径是利用纳米结构各种独特的光学和电学性能，目前已经实现THz辐射的器件有量子级联激光器、非对称耦合量子阱、Bloch振荡器等。但有很多因素制约这些器件的实际应用，其中最根本的原因迄今为止尚没有一种能够准确计算THz纳米器件中量子态的理论方法，准确计算纳米器件中量子态的同时能给THz纳米激光器的制备提供理论判据。 为了获得纳米结构的解析解，本文首先研究了最基本的情况：一维有限品格。利用无限晶格Bloch函数以及晶格势场的傅立叶变换特性，我们导出了一维晶格量子态的解析解。理论研究表明，量子态的波矢不再是连续的，而是分立的，它们均匀分布在布里渊区上，其数目由晶格所拥有的周期数决定。根据量子数的不同，量子态的解析解对应着具有相同波矢Bloch函数的实部或虚部，并且具有不同的奇偶对称性。由解析解的具体形式，我们发现有限晶格的本征值都落在具有相同波矢能带的位置上。虽然所有的晶格解析解都属于驻波，但它们还是分为带问态与带缘态两大类，带缘态只能出现在布里渊区的边界，每个禁带上只能有一个带缘态。 在THz纳米器件中按照维度的区分有：量子阱，量子线，量子点。这些纳米结构可以利用分离变量法将其薛定谔方程分解为独立的一维有限品格的情况。利用在一维有限晶格中得到的结果，我们计算了简单的纳米结构量子态的解析解。这些量子结构的解析解揭示表明因为尺寸效应，原来无限晶格中的能带将分裂为子能带。子能带的数目有纳米结构中出现尺寸效应方向上的周期数来决定，子能带的位置由波矢以及原无限晶格的能带决定。通过具体分析子能带，发现能产生光子的带间跃迁只能出现在具有相同量子数的子能带之间，从而进一步发现了简单纳米结构中辐射出来的电磁波的能量是由原无限晶格的禁带能量决定的，其能带结果表明在单量子阱结构中是无法产生THz辐射的。因为所有已知半导体的禁带能量量级都在leV附近，已经远远超出了THz电磁波的能量范围(0.41～41meV)。利用在量子阱中得到的能带结构，我们计算了Si量子阱介电常数的虚部，因为介电常数的虚部决定了晶体大多数的光学性能。在计算中我们发现随着量子阱厚度的减少，介电常数出现了明显的分立峰，说明量子阱中出现了尺寸效应。 最有可能实现THz领域研究目标的结构是半导体异质结。利用一维有限晶格的结果，我们研究了一维非对称量子阱结构中量子态的解析解。解析解中非对称量子阱的波矢由两边量子阱的晶格常数共同决定。量子态的波函数呈现出类似驻波的特性：在系统边界以及晶体的交界处均为零。系统薛定谔方程的本征值由两边量子阱的能带以及归一化系数决定。由于量子耦合作用，非对称量子阱中晶体能带将分裂成更细的子能带。在计算中我们发现，由禁带能量都在leV以上的材料组成的非对称量子阱，子能带之间的能量差在10meV的量级。因此纳米结构量子态的解析解为判研THz纳米器件提供了理论依据。 前面所研究的量子态都是在全束缚条件下的，在实际应用中更能代表实际情况的模型是一维非全束缚有限晶格。在一维有限晶格全束缚量子态解析解的基础上，我们得到了一维非全束缚量子态的解析解。这些解析解表明，晶格边界势垒对晶格中量子态有很大的影响。当晶格中电子的能量远小于边界势垒时，电子的行为必须用全束缚量子态的模型来求解；当电子能量接近或大于系统边界势垒时，电子行为将接近于自由电子，此时采用有效质量模型也可取得较好的结果。