圈的存在性是图论研究中非常重要的内容.几十年来,图论学家在这个方向上开展了大量的研究工作,取得了很多深刻的结果.与此同时,图论学家在圈的存在性研究方面还提出了不少重要的问题和猜想,该方向依然是图论研究的热点之一.　　本论文主要讨论了无向图和有向图中圈的存在性问题.在第一章中,我们阐述了研究圈存在性的重要意义,介绍了论文中出现的基本记号和术语,并简单概述了本论文所涉及问题的相关研究成果和主要进展.我们的结果主要分为三个部分.第一部分包括第二、第三和第四章,主要研究图中奥尔型和范型重子图条件下哈密顿圈的存在性和谱半径条件下哈密顿圈和哈密顿路的存在性;第二部分包括第五章,主要研究图中过指定顶点集的长圈和长路的存在性;第四部分包括第六章和第七章,主要研究有向图中长圈和短圈的存在性.　　在第二章中,我们给出了奥尔型重子图和范型重子图的定义,并刻画了所有异于P3的连通图R和S,使得每个2-连通R-f-重和S-f-重(R-o-重和S-f-重，R-f-重和S-禁止)图是哈密顿的.我们的结果推广了Bedrossian的和Faudree和Gould关于禁止子图条件下2-连通图中哈密顿圈存在性的一个结果,也推广了李斌龙等人关于重子图条件下2-连通图中哈密顿圈存在性的结果.　　在第三章中,通过使用o-重爪图的闭包理论和引入一些新的工具,我们证明了每个2-连通的o-重爪和Z3-f-重图是哈密顿图或者是两种特殊的图,其中Z3是通过在一条长为3的路径的一个端点连接一个三角形所得到的图.这一结果给出了作者和张胜贵在《离散数学》中提出的一个开问题的正面解答,同时也将Faudree等人和陈冠涛等人的两个定理作为推论推出.进一步,我们刻画了所有的连通图H,使得每个顶点数至少是10的2-连通o-重爪和H-f-重图是哈密顿图.这推广了Faudree和Gould的一个定理.　　在第四章中,我们首先给出了图中存在哈密顿路和哈密顿圈的两个新的谱条件.具体的,证明了:(1)设G是n≥4个顶点的图,其中最小度δ≥1.如果谱半径λ(G)> n-3,那么G包含一个哈密顿路除非G∈{K1∨(Kn-3+2K1)，K2∨4K1，K1∨(K1,3+K1)}.(2)设G是n≥14个顶点的图,其中δ≥2.如果谱半径λ(G)≥λ(K2∨(Kn-4+2K1)),那么G包含一个哈密顿圈除非G=K2∨(Kn-4+2K1)。　　同时,我们研究了连通无爪图中哈密顿路存在性的谱条件.具体的,证明了:如果连通无爪图G满足λ(G)≥n-4,那么G是可迹的除非G=Nn-3,3;并且证明了如果谱半径λ(G)≤λ(Nn-3,3)且n≥24,那么G是可迹的除非G=Nn-3,3,其中Nn-3,3是Kn-3挂三条不相交的悬挂边所得的图.我们的结果分别是陆玫等人的定理和Fiedler和Nikiforov的定理在连通无爪图上的推广.　　在第五章中,对于一个k-连通图G,我们首先证明了:对于G中任意两个顶点x和z,和任意k-2个指定顶点的集合S-V(G){x,z},图G中存在一条经过该点集S并且两端点为x和z的路径,其长度至少是图中除去x和z外所有顶点的平均度.进一步,借助这一结果,我们证明了:如果G包含n个顶点和m条边,那么它包含过任意k-1个顶点且长度至少为2m/(n-1)的圈.这两个结果解决了2011年作者在其硕士学位论文中所提出的两个问题,同时也推广了范更华在其博士学位论文中关于过指定两个顶点长路的定理和Erd¨os和Gallai关于图中存在长度至少是2m/(n-1)的圈的经典定理.　　在第六章中,我们研究了Manoussakis提出的一个猜想:每个强2-连通有向图D如果满足任意两对不相邻的顶点x,y和w,z都有d(x)+d(y)+d(w)+d(z)≥4n-3,那么D包含一个哈密顿圈.我们证明在Manoussakis的条件下,该有向图或者包含一个哈密顿圈,或者包含一个长为|V(D)|-1的圈.作为推论，D中有一条哈密顿路.这给出了正面支持该猜想的证据.　　在第七章中,我们研究了定向二部图中有向四圈的存在性.我们证明了:对于有二部划分(A，B)的定向二部图D,其中|A|=m≥2和|B|=n≥2,如果每个顶点u∈A满足d+(u)≥n/3,并且每个顶点v∈B满足d+(v)≥m/3,那么或者D中存在一个有向四圈,或者D=D-(m，n)(其中D-(m，n)可以完整刻画).这一结果解决了李皓提出的一个猜想.　　在最后一章,我们总结了本学位论文的所有创新点,并列出了可供进一步研究的猜想.