【摘 要】
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对于含有多个空间导数的微分方程,利用经典的高阶紧致方法离散存在一些不足,将降低格式的计算效率.基于此,本文设计了一种新的组合高阶紧致格式,成功克服了此不足.研究了同时含有一阶导数和二阶导数的组合高阶紧致差分方法,并构造了同时含有一阶导数和三阶导数的组合高阶紧致差分格式.把这些格式用于非线性薛定谔方程和KdV方程在空间上离散.对非线性薛定谔方程将其分裂成两个子问题,对于非线性子问题精确求解;对于线性
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对于含有多个空间导数的微分方程,利用经典的高阶紧致方法离散存在一些不足,将降低格式的计算效率.基于此,本文设计了一种新的组合高阶紧致格式,成功克服了此不足.研究了同时含有一阶导数和二阶导数的组合高阶紧致差分方法,并构造了同时含有一阶导数和三阶导数的组合高阶紧致差分格式.把这些格式用于非线性薛定谔方程和KdV方程在空间上离散.对非线性薛定谔方程将其分裂成两个子问题,对于非线性子问题精确求解;对于线性子问题则在空间上采用一阶导数和二阶导数的组合高阶紧致差分方法,时间上采用Crank-Nicholson方法,构造出了CHOC-CNLS格式.通过对KdV方程空间上采用一阶导数和三阶导数的组合高阶紧致差分方法,时间上分别采用一阶差分方法和二阶差分方法,构造出了CHOC I格式和CHOC II格式.最后给出一些数值实验对格式进行验证讨论.文章的安排如下:第一章,介绍了有限差分方法的研究背景及意义,并将传统的高精度差分格式、高阶紧致差分格式和组合高阶紧致差分格式进行了分析与比较.同时阐述了非线性薛定谔方程和KdV方程的研究背景及意义.第二章,阐述了组合高阶紧致差分方法的基本思想及一阶导数和二阶导数的组合高阶紧致方法,同时给出了相应的差分算子矩阵.然后将非线性薛定谔方程分裂成两个子问题,对于非线性子问题精确求解;对于线性子问题则在空间上采用组合高阶紧致差分方法,时间上采用Crank-Nicholson方法,构造了CHOC-CNLS格式,并分析了格式的截断误差和守恒性.最后通过数值实验模拟了所构造格式的数值解,并计算其精确度和误差,给出了图表分析.第三章,构造了一阶导数和三阶导数的组合高阶紧致格式,同时给出了相应的差分算子矩阵.通过对KdV方程空间上采用组合高阶紧致差分方法,时间上分别采用一阶差分方法和二阶差分方法离散构造了CHOC I格式CHOC II格式,并分析了两个格式的截断误差.最后通过数值实验模拟了所构造格式的数值解,并计算其精确度和误差,给出了图表分析.第四章,对论文所做工作进行总结,对将来的工作进行展望.
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