高振荡问题如高振荡数值积分、高振荡微分、积分方程数值解等广泛存在于量子化学、信号处理、医疗图像、分子动力学、流体力学等众多问题中，是公认的数学难题之一.本篇博士学位论文主要研究了高振荡问题的高效数值方法以及与高振荡相关的数值逼近问题.高振荡问题部分主要研究了高振荡函数数值积分如Fourier型和Bessel型积分，高振荡函数的Cauchy主值的计算以及具有高振荡Bessel核的Volterra第一型积分方程的数值解问题.逼近部分的研究主要包括Legendre系数的衰减估计和实现Legendre插值的快速稳定算法.全文由如下部分组成：　　 第一章简述了高振荡问题的应用背景和研究的意义.第二章介绍了近年来发展起来的几种高振荡积分的高效算法，如渐近方法、Filon型方法、Levin型方法、广义积分法则以及数值最速下降法等.　　 第三章讨论了高振荡积分的Levin迭代法.对于Fourier型积分，当被积函数在积分区间内没有驻点时，证明了Levin迭代法与渐近方法的等价性，同时将Levin迭代法推广到高振荡Bessel型积分.　　 第四章主要讨论了以下形式的高振荡有限Hilbert变换的计算，()提出了计算该型积分的三种新的算法.当函数f(x)在包含积分区间[-1，1]的一个充分大的复平面邻域内解析时，提出了一种可以利用经典的Gauss-Laguerre积分法则实现的数值最速下降法，此方法的精度随振荡频率ω的增加而快速提高.当f(x)在包含积分区间[-1，1]的一个小的邻域内解析时，提出了一种基于Chebyshev插值的快速实现算法，该算法可以由三项递推以及快速Fourier变换高效的实现.同时证明了所提出的Chebyshev插值型算法逼近振荡Hilbert变换是一致收敛的，也就是其误差界与τ无关.在前面两种方法的基础上，我们将Filon型方法推广到了当前积分的计算，Filon型方法不要求函数f(x)解析，它可以由递推关系快速的计算并且其精度随频率ω的增加而快速提高.　　 第五章主要研究了一个具有高振荡Bessel核的第一类Volterra卷积型积分方程的数值解问题.首先证明了对于积分区间含O的高振荡Bessel型积分，积分的渐近展开与Bessel函数的阶的关系，特别的，当Bessel函数的阶为整数时，提高了渐近方法以及Filon型方法的误差阶的估计.利用这个新的结果，研究了具有高振荡Bessel核的第一型Volterra积分方程的渐近展开和数值方法.首先利用Laplace变换技术将积分方程的解转化为一个高振荡的Bessel积分，然后利用提高的渐近展开给出了积分方程解的渐近展开.进一步还设计了一种计算积分方程解的Filon型方法，Filon型方法是一种对于固定频率收敛的方法，并且其精度可以用增加导数插值或增加插值节点而快速提高.　　 第六章主要研究了Legendre逼近问题.首先建立了Legendre系数的衰减估计，得到了Legendre的截断级数展开的误差估计.其次研究了Legendre插值公式的快速稳定算法.众所周知，Chebyshev插值公式可以通过其重心形式使用O(n)次运算量快速并且稳定的实现，然而对于Legendre插值公式的研究却没有Chebyshev插值那样受到重视.在本章中，我们使用Gauss-Legendre积分法则的节点和权显式的构造了Legendre重心权的显式形式，因此先使用Glaser-Liu-Rokhlin算法计算Gauss-Legendre积分法则的节点和权，这需要O(n)次运算量，然后再计算Legendre的重心权，从而Legendre插值公式可以用O(n)次运算量快速并且稳定的实现，这就使得Legendre插值公式和Chebyshev插值公式具有同阶的运算量.类似的，我们还显式的给出了重心Gauss-Legendre-Lobatto的权，从而Gauss-Legendre-Lobaao插值公式也可快速稳定的计算.