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在数学教学中，我们的学生数学基础扎实，但对富有挑战性和创造性的问题的解决情况令人深思，故培养创新意识应成为数学教育的一大重任。设想是数学上很独特的思维方式，分析的成败往往系于设想是否大胆和合理，设想是分析过程中不断获得新势头的动力。因此，设想能力的培养在数学思维训练中占有十分重要的地位。
一、创设问题，合情推理
大家都知道等差、等比数列都有求和公式，现在的问题是数列1 ，2 ，…n ，…，其前n项和S =1 +2 +3 +…+n 是有公式可求吗？
特殊之中蕴涵着一般，朋友们不妨先取几个特殊值算算，看看说不定有什么规律。
提问1：让学生动手算一算结果如何？
由学生得出：s =1，s =9，s =36，s =100，s =225，……
接着提出问题2：数值结果有什么规律？
引导学生得出都是完全平方数：s =1 ，s =3 ，s =6 ，s =10 ，s =15 ，……
问题3：平方下的底数有没有什么规律？
1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，15=1+2+3+4+5，…
通过提问创设问题，让学生自己去推测S 的求和结果，学生可以得出S =(1+2+…+n) (数值体验、合情推理)。
二、设想问题成立
还未动手， 就“设想问题已解”，这是数学上最大胆、最基本、最朴素的幻想，它既适用于要证明的问题，也适用于要寻求的问题。靠着设想，引导学生发现世外桃源的洞口，看到透出的一丝亮光，使学生觉得数学并不那么枯燥无味。事实上，每道数学题都有自己的切入口，关键是必须把解决问题的切入口找到，教学时难就难在如何把学生引导到这个切入口。
例1.已知双曲线2X -2Y =1的两个焦点分别为F ，F ，P为动点，若｜PF ｜+｜PF ｜=2a，a为定值(其中a＞1)，cosF PF 最大值为 。
(I) 求动点P的轨迹E的方程。
(II) 过点N(- ，0)作直线L交轨迹E于A、B两点，设点M（-2，0），判断∠AMB的大小是否为定值，并证明你的结论。
此题的第二步并没有告诉我们该定值是什么，故会增解题的难度，因此，我们首先必须想法猜测出关于该定值的信息。
由（I）可得E的轨迹方程为 + =1。
当L⊥x轴时，直线L的方程为x=- ，代入 + =1解得A，B的坐标分别为（- ， ）和（- ，- ），∴ • =0，∴∠AMB=90°。可猜测∠AMB=90°为定值，因此我们也就知道了此题的目的就是要获得 • =0的结果成立，即可完成。
例2. 以F （0，-1），F （0，1）为焦点的椭圆C过点P（ ，1）。
（I） 求椭圆C的方程
（II） 过点S（- ，0）的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论L如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。
在这题的第二步中与例1的第二步一样，要先找到定点T。这里面实际上也涉及由特殊到一般的思维进行创新的探究方法。
由（I）得椭圆C方程：x + =1。
①由过点S（- ，0）的动直线的斜率为0，得直线L：y=0与x + =1的交点A（-1，0），B（1，0），则AB为直径的圆为D 的方程为x +y =1。
②由过点S（- ，0）的动直线的斜率不存在，得直线L：x=- 与x + =1的交点A（- ，- ），B（- ， ），则AB为直径的圆为D 的方程为：（x+ ） +y = ，D 和D 相交于点T（1，0）
可猜测若恒过点T，则T点的坐标为（1，0），接下来的做题就比较水到渠成，只要能证明 • =0恒成就够了。
数学设想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它对于创造性是至关重要、不可缺少的。设想是否符合实际、是否可行，与经验理论基础、方法都有很大的关系。经验越丰富，理论基础越扎实，方法越正确，设想的预见性就越高。在教学中，教师要重视数学设想，培养学生的探究能力。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、创设问题，合情推理
大家都知道等差、等比数列都有求和公式，现在的问题是数列1 ，2 ，…n ，…，其前n项和S =1 +2 +3 +…+n 是有公式可求吗？
特殊之中蕴涵着一般，朋友们不妨先取几个特殊值算算，看看说不定有什么规律。
提问1：让学生动手算一算结果如何？
由学生得出：s =1，s =9，s =36，s =100，s =225，……
接着提出问题2：数值结果有什么规律？
引导学生得出都是完全平方数：s =1 ，s =3 ，s =6 ，s =10 ，s =15 ，……
问题3：平方下的底数有没有什么规律？
1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，15=1+2+3+4+5，…
通过提问创设问题，让学生自己去推测S 的求和结果，学生可以得出S =(1+2+…+n) (数值体验、合情推理)。
二、设想问题成立
还未动手， 就“设想问题已解”，这是数学上最大胆、最基本、最朴素的幻想，它既适用于要证明的问题，也适用于要寻求的问题。靠着设想，引导学生发现世外桃源的洞口，看到透出的一丝亮光，使学生觉得数学并不那么枯燥无味。事实上，每道数学题都有自己的切入口，关键是必须把解决问题的切入口找到，教学时难就难在如何把学生引导到这个切入口。
例1.已知双曲线2X -2Y =1的两个焦点分别为F ，F ，P为动点，若｜PF ｜+｜PF ｜=2a，a为定值(其中a＞1)，cosF PF 最大值为 。
(I) 求动点P的轨迹E的方程。
(II) 过点N(- ，0)作直线L交轨迹E于A、B两点，设点M（-2，0），判断∠AMB的大小是否为定值，并证明你的结论。
此题的第二步并没有告诉我们该定值是什么，故会增解题的难度，因此，我们首先必须想法猜测出关于该定值的信息。
由（I）可得E的轨迹方程为 + =1。
当L⊥x轴时，直线L的方程为x=- ，代入 + =1解得A，B的坐标分别为（- ， ）和（- ，- ），∴ • =0，∴∠AMB=90°。可猜测∠AMB=90°为定值，因此我们也就知道了此题的目的就是要获得 • =0的结果成立，即可完成。
例2. 以F （0，-1），F （0，1）为焦点的椭圆C过点P（ ，1）。
（I） 求椭圆C的方程
（II） 过点S（- ，0）的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论L如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。
在这题的第二步中与例1的第二步一样，要先找到定点T。这里面实际上也涉及由特殊到一般的思维进行创新的探究方法。
由（I）得椭圆C方程：x + =1。
①由过点S（- ，0）的动直线的斜率为0，得直线L：y=0与x + =1的交点A（-1，0），B（1，0），则AB为直径的圆为D 的方程为x +y =1。
②由过点S（- ，0）的动直线的斜率不存在，得直线L：x=- 与x + =1的交点A（- ，- ），B（- ， ），则AB为直径的圆为D 的方程为：（x+ ） +y = ，D 和D 相交于点T（1，0）
可猜测若恒过点T，则T点的坐标为（1，0），接下来的做题就比较水到渠成，只要能证明 • =0恒成就够了。
数学设想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它对于创造性是至关重要、不可缺少的。设想是否符合实际、是否可行，与经验理论基础、方法都有很大的关系。经验越丰富，理论基础越扎实，方法越正确，设想的预见性就越高。在教学中，教师要重视数学设想，培养学生的探究能力。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”