论文部分内容阅读
所谓反例,指符合某个数学命题条件,但与该命题结论不符合的例子. 美国有位数学家曾说过,“冒着过于简单的风险,我们可以说(撇开定义,陈述及艰苦的工作不谈)数学是由两大类——证明和反例组成的;而数学的发现也是朝着这两个主要目标——提出证明和构造反例进行的”. 实际上,数学的真理知识就是在提出命题,肯定和否定命题的过程中发展的,由于数学中有些命题来自于经验的归纳或是由少数特例提出的猜想;有些命题是从某个角度或某个侧面的推测而提出的,并非每个命题都一定正确. 所以,对命题的正确性必须有严格的证明;要肯定一个命题,必须在题设的条件下,对任何可能的情形都为真;而否定一个命题,就得举出一个与题设符合而与结论不符的例子.
在数学发展的历史进程中,反例有着功不可没的功劳,它为数学的严谨性起到了保驾护航的作用,很多命题凭借眼前的规律或局部的现象判断其真实性,最后却利用反例得到解决. 如“欧拉方程猜想”.
1769年欧拉证明了费尔马定理:x5 + y5 = z5(费尔马大定理的特例)没有非平凡整数解后,也提出了另一个猜想:x1n + x2n + … + xnn- 1 = xnn方程无整数解.
当时很多人认为此命题是不可置疑的,直到过了两个世纪,美国数学家塞尔费里奇(Selfridege)和美籍华人吴子乾发现:275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445,这便否定了欧拉的上述的猜想.
又如,德国数学家莱布尼兹证明了,对于任意的正整数n,n3 - n,n5 - n,n7 - n,能分别被3,5,7整除,这样,他推测,对于所有的奇数k和整数n,nk - n能被k整除,但不久,他发现29 - 2 = 510不能被9整除,从而推翻了自己的猜想.
从上面举出的例子我们认识到,用一个具体的､特殊的例子否定一个命题的结论,是一种诱发人们思考､探索及判断命题真伪的有效手段,是发现真理的一种途径. 而在教学中,恰当引用反例,对深化概念､强调条件､检验结果､否定谬误等也起到了很大的作用.
1. 深化概念
概念是学习数学最基础的东西,它所描述的是事物的本质属性. 本质属性弄不清,就很难进一步研究. 而且仅仅从正面理解好概念是远远不够的,还要从反面剖析,从而揭示事物本质,加深学生的理解. 例如,学生在刚接触函数概念的时候,因为此概念比较抽象,所以理解起来比较困难,利用反例就可以加深学生对函数的理解.
例1 下列图形中,不可能是函数y = f(x)的图像是图中的 ().
通过观察､比较,同学们认识到:对于x在某个范围内的每一个确定的值,按照某种对应法则,变量y都有唯一确定的值和它相对应,这才是构成函数关系的本质,所以只能选D.
2. 强调条件
在学习公式､法则等过程中,学生往往只注意死记硬背,对其适用范围,前提条件常常有所疏忽,轻视,以致在解题过程中漏洞百出. 因此,教师在讲授过程中,反复地加以强调,适当地添加反例将有助于学生的记忆与运用. 例如,在利用等比数列求和公式时,很容易忽视公比为1的情况,特别是字母表示公比时,更要注意.
例2 已知数列{an}的前n项和Sn = 3•2n + a(a是常数),试判断该数列是不是等比数列,并说明理由.
错解 因为an = Sn - Sn-1 = (3•2n + a) - (3•2n-1 + a) = 3•2n.
所以= = 2 ≠ 0. 故数列{an}是等比数列.
错题分析 由上面的n - 1可知,n不可取1.易知a1 = S1 = 6 + a,a2 = 6,当a = 0时, = 1 ≠ 2,{an}就不是等比数列了,产生错误的原因,是误认为对任意的n∈N*,都有an = Sn - Sn-1,但an与Sn的关系实际上是:an = S1 (n = 1).Sn - Sn-1(n ≥ 2).
正解 当n ≥ 2时,an = Sn - Sn-1 = (3•2n + a) - (3•2n - 1 + a) = 3•2n.且= = 2,有a1 = S1 = 6 + a,a2 = 6,所以当a = -3时= 2;当a ≠ -3时,≠ 2.
故当a = -3时,{an}是等比数列,当a ≠ -3时,{an}就不是等比数列.
在课堂上,只要多加留意,适当地使用反例,将会有意想不到的收获.
3. 检验结果
检验作为解题过程的一部分,是必不可少的,检验一个结果对否,通常有两种方法:一种是从过程出发,即从头到尾检查解题的每一步骤;另一种是从结论着手,取符合范围或不符合此范围的数代入原式,看是否满足原式.
例3 若方程x2 + (a - 2)•x + 5 - a = 0的根都比2大,求实数a的范围.
错解 x1 > 2,x2 > 2,Δ ≥ 0, 即x1 + x2 = -(a - 2) > 4,x1•x2 = 5 - a > 4,(m - 2)2 - 4•(5 - a) ≥ 0.
则a < -2,a < 1,a ≥ 4或a ≤ -4. 故a ≤ -4.
错解分析 乍一看,觉得过程合情合理,没有什么可挑剔的,不用反例一时很难查出问题,若把a = -5代入原方程,方程变为x2 - 7x + 10 = 0,解得其中一解为2,很显然,此结果a ≤ -4是错误的.
正解 略.
4. 否定谬论
例4 已知a < 0,-1 < b < 0,则a,ab,ab2之间的大小关系是 ( ).
A. a > ab > ab2 B. ab > a > ab2
C. ab2 > ab > a D. ab > ab2 > a
分析 可以在命题指定的范围内,取几个特殊值作为反例否定三个选择项,从而肯定一个选择项,就为答案.
解 取a = -1 < 0,-1 < b = -< 0,则ab,ab2,a相应的值为 ,- ,-1,从而得到答案(D).
这种方法在选择题中的应用是很广的,它能迅速地排除非答案选项,避免繁杂的计算.
总之,在数学教学中,适时地引进一些反例或适当地引导学生构造反例,不仅能帮助我们深刻地理解概念,巩固和掌握定理､公式和性质,而且还能培养和发展学生的各种思维能力.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
在数学发展的历史进程中,反例有着功不可没的功劳,它为数学的严谨性起到了保驾护航的作用,很多命题凭借眼前的规律或局部的现象判断其真实性,最后却利用反例得到解决. 如“欧拉方程猜想”.
1769年欧拉证明了费尔马定理:x5 + y5 = z5(费尔马大定理的特例)没有非平凡整数解后,也提出了另一个猜想:x1n + x2n + … + xnn- 1 = xnn方程无整数解.
当时很多人认为此命题是不可置疑的,直到过了两个世纪,美国数学家塞尔费里奇(Selfridege)和美籍华人吴子乾发现:275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445,这便否定了欧拉的上述的猜想.
又如,德国数学家莱布尼兹证明了,对于任意的正整数n,n3 - n,n5 - n,n7 - n,能分别被3,5,7整除,这样,他推测,对于所有的奇数k和整数n,nk - n能被k整除,但不久,他发现29 - 2 = 510不能被9整除,从而推翻了自己的猜想.
从上面举出的例子我们认识到,用一个具体的､特殊的例子否定一个命题的结论,是一种诱发人们思考､探索及判断命题真伪的有效手段,是发现真理的一种途径. 而在教学中,恰当引用反例,对深化概念､强调条件､检验结果､否定谬误等也起到了很大的作用.
1. 深化概念
概念是学习数学最基础的东西,它所描述的是事物的本质属性. 本质属性弄不清,就很难进一步研究. 而且仅仅从正面理解好概念是远远不够的,还要从反面剖析,从而揭示事物本质,加深学生的理解. 例如,学生在刚接触函数概念的时候,因为此概念比较抽象,所以理解起来比较困难,利用反例就可以加深学生对函数的理解.
例1 下列图形中,不可能是函数y = f(x)的图像是图中的 ().
通过观察､比较,同学们认识到:对于x在某个范围内的每一个确定的值,按照某种对应法则,变量y都有唯一确定的值和它相对应,这才是构成函数关系的本质,所以只能选D.
2. 强调条件
在学习公式､法则等过程中,学生往往只注意死记硬背,对其适用范围,前提条件常常有所疏忽,轻视,以致在解题过程中漏洞百出. 因此,教师在讲授过程中,反复地加以强调,适当地添加反例将有助于学生的记忆与运用. 例如,在利用等比数列求和公式时,很容易忽视公比为1的情况,特别是字母表示公比时,更要注意.
例2 已知数列{an}的前n项和Sn = 3•2n + a(a是常数),试判断该数列是不是等比数列,并说明理由.
错解 因为an = Sn - Sn-1 = (3•2n + a) - (3•2n-1 + a) = 3•2n.
所以= = 2 ≠ 0. 故数列{an}是等比数列.
错题分析 由上面的n - 1可知,n不可取1.易知a1 = S1 = 6 + a,a2 = 6,当a = 0时, = 1 ≠ 2,{an}就不是等比数列了,产生错误的原因,是误认为对任意的n∈N*,都有an = Sn - Sn-1,但an与Sn的关系实际上是:an = S1 (n = 1).Sn - Sn-1(n ≥ 2).
正解 当n ≥ 2时,an = Sn - Sn-1 = (3•2n + a) - (3•2n - 1 + a) = 3•2n.且= = 2,有a1 = S1 = 6 + a,a2 = 6,所以当a = -3时= 2;当a ≠ -3时,≠ 2.
故当a = -3时,{an}是等比数列,当a ≠ -3时,{an}就不是等比数列.
在课堂上,只要多加留意,适当地使用反例,将会有意想不到的收获.
3. 检验结果
检验作为解题过程的一部分,是必不可少的,检验一个结果对否,通常有两种方法:一种是从过程出发,即从头到尾检查解题的每一步骤;另一种是从结论着手,取符合范围或不符合此范围的数代入原式,看是否满足原式.
例3 若方程x2 + (a - 2)•x + 5 - a = 0的根都比2大,求实数a的范围.
错解 x1 > 2,x2 > 2,Δ ≥ 0, 即x1 + x2 = -(a - 2) > 4,x1•x2 = 5 - a > 4,(m - 2)2 - 4•(5 - a) ≥ 0.
则a < -2,a < 1,a ≥ 4或a ≤ -4. 故a ≤ -4.
错解分析 乍一看,觉得过程合情合理,没有什么可挑剔的,不用反例一时很难查出问题,若把a = -5代入原方程,方程变为x2 - 7x + 10 = 0,解得其中一解为2,很显然,此结果a ≤ -4是错误的.
正解 略.
4. 否定谬论
例4 已知a < 0,-1 < b < 0,则a,ab,ab2之间的大小关系是 ( ).
A. a > ab > ab2 B. ab > a > ab2
C. ab2 > ab > a D. ab > ab2 > a
分析 可以在命题指定的范围内,取几个特殊值作为反例否定三个选择项,从而肯定一个选择项,就为答案.
解 取a = -1 < 0,-1 < b = -< 0,则ab,ab2,a相应的值为 ,- ,-1,从而得到答案(D).
这种方法在选择题中的应用是很广的,它能迅速地排除非答案选项,避免繁杂的计算.
总之,在数学教学中,适时地引进一些反例或适当地引导学生构造反例,不仅能帮助我们深刻地理解概念,巩固和掌握定理､公式和性质,而且还能培养和发展学生的各种思维能力.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”