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北师大版《数学》（九年级上册）第二章 一元二次方程 p.66例2是一道应用题，原题如下：
新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元.市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元?
1 解法探究
分析 本题虽然是一道例题，但学生很难理解：“当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台”的含义.
笔者在教学中先让学生思考、交流，然后提问：“降低50元，每天多售几台”？
生1：“4台”.
师：“降低100元，每天多售几台”？
生2：“4×10050=8台”.
师：“降低150元，每天多售几台”？
生3：“4×15050=12台”.
师：“降低x元，每天多售几台”？
生4：“4x50台”.
也有学生采用下列表格来说明：
降价钱数（元）50100150 x
多售冰箱（台） 4 812 A
由此得,若每台冰箱降价x元，则平均每天多销售的冰箱数A=4x50.
本题的主要等量关系是：
每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元.
方法1 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是（2900-x）元，每台冰箱的销售利润为(2900-x-2500)元，平均每天销售冰箱的数量为（8+4x50）台，这样就可以列出一元二次方程：
(2900-x-2500)（8+4x50）=5000,
整理得：225x2-24 x+1800=0,
解得x1=x2=150.
每台冰箱的定价是2900-150=2750 元, 从而使问题得到解决.
这是一种间接设未知数的方法，因为题目是问“每台冰箱的定价应为多少元”，而不是问“每台冰箱应降价多少元”.由于学生解应用题基本上是问什么设什么，所以学生较难想到“设每台冰箱降价x元”.那么能否直接设未知数呢？
方法2 如果设每台冰箱的定价为x元，(因为是降价，所以x<2900)，那么每台冰箱降价（2900-x）元，每台冰箱的销售利润为 (x-2500)元，平均每天销售冰箱的数量为：（8+4×2900-x50）台，这样就可以列出一元二次方程：
(x-2500)（8+4×2900-x50）=5000,
整理得：(x-2500)(240-225x)=5000
即：225x2-440x+605 000=0,
解得x1=x2=2750.
每台冰箱的定价为2750元.
方法1所列方程比方法2所列方程较简便, 由于是间接设未知数,学生难以想到. 而方法2虽然是直接设未知数，学生不会有困难，但要用含x的代数式表示出：（1）每台冰箱降价多少元，（2）每台冰箱的销售利润是多少，（3）平均每天销售冰箱的数量；就有一定的困难.笔者在教学中让学生先动笔、再充分思考、交流、讨论，然后形成正确答案.
2 推广1
如果将原题改为“当销售价每上涨50元时，平均每天少售出4台.”其它条件不变.
方法1 如果设每台冰箱涨价x元，那么每台冰箱的定价就是（2900+x）元，每台冰箱的销售利润为(2900+x-2500)元，平均每天销售冰箱的数量为（8-4x50）台，这样就可以列出一元二次方程：
(2900+x-2500)(8-4x50)=5000,
整理得：225x2+24 x+1800=0,
解得x1=x2=-150 ，涨价-150元实为降价150元
每台冰箱的定价是2900+(-150)=2750 元, 从而使问题得到解决.
方法2 设每台冰箱的定价为x元，(因为是涨价，所以x>2900)，那么每台冰箱涨价（x-2900）元，每台冰箱的销售利润为 (x-2500)元，平均每天销售冰箱的数量为:（8-4×x-290050）台. 这样就可以列出一元二次方程：
(x-2500)（8-4×x-290050）=5000,
整理得：(x-2500)(240-225x)=5000,
即：225x2-440 x+605 000=0,
解得x1=x2=2750.
每台冰箱的定价为2750元.
但由于原销售价为2900元，2750-2900=-150，实为降价150元.
推广1与原题一样，即“当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台”与“当销售价每上涨50元时，平均每天少售出4台.”其结果是一样的.
3 推广2
九年级（下）学习第二章 “二次函数” 何时获得最大利润时，笔者把原题推广到二次函数求最大（小）值问题.
新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，请你帮助分析，销售定价为多少时，可以获得最大利润？ 最大利润是多少？
方法1 设每台冰箱降价x元，所获得的利润为y元，那么每台冰箱的定价就是（2900-x）元，每台冰箱的销售利润为(2900-x-2500)元，平均每天销售冰箱的数量为（8+4x50）台，所列出的二次函数为：
y =(2900-x-2500)（8+4x50）,
整理得：y=-225x2+24 x+3200,
因为a=-225<0,所以y有最大值.
当x=-242×(-225)=150时，y的最大值为5000，即每台冰箱的定价为2900-150=2750元时，可以获得最大利润，最大利润是5000元.
方法2 设每台冰箱的定价为x元，所获得的利润为y元，那么每台冰箱降价（2900-x）元，每台冰箱的销售利润为:(x-2500)元，平均每天销售冰箱的数量为：
（8+4×2900-x50）台，列出的二次函数为：
y = (x-2500)（8+4×2900-x50）
整理得：y = (x-2500)(240-225x) ,
即y=-225x2+440 x-600 000
因为a=-225<0,所以y有最大值，
当x=-4402×(-225)=2750时，y的最大值为5000，即每台冰箱的定价为2750元时，可以获得最大利润，最大利润是5000元.
4 总结
以上一元二次方程均有两个相等的实数根，由于方法1中的点（150，5000）和方法2中的点（2750，5000）均为二次函数的图象（抛物线）的顶点坐标，所以原题的5000元利润即为最大利润.
作者简介 黄业乐,男,江西省大余县人，1960年11月生.中学高级教师. 主要研究初中数学教学方法及解题方法论. 多篇教研论文在国家、省、市、县级刊物发表及获市、区、街道奖励.
新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元.市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元?
1 解法探究
分析 本题虽然是一道例题，但学生很难理解：“当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台”的含义.
笔者在教学中先让学生思考、交流，然后提问：“降低50元，每天多售几台”？
生1：“4台”.
师：“降低100元，每天多售几台”？
生2：“4×10050=8台”.
师：“降低150元，每天多售几台”？
生3：“4×15050=12台”.
师：“降低x元，每天多售几台”？
生4：“4x50台”.
也有学生采用下列表格来说明：
降价钱数（元）50100150 x
多售冰箱（台） 4 812 A
由此得,若每台冰箱降价x元，则平均每天多销售的冰箱数A=4x50.
本题的主要等量关系是：
每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元.
方法1 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是（2900-x）元，每台冰箱的销售利润为(2900-x-2500)元，平均每天销售冰箱的数量为（8+4x50）台，这样就可以列出一元二次方程：
(2900-x-2500)（8+4x50）=5000,
整理得：225x2-24 x+1800=0,
解得x1=x2=150.
每台冰箱的定价是2900-150=2750 元, 从而使问题得到解决.
这是一种间接设未知数的方法，因为题目是问“每台冰箱的定价应为多少元”，而不是问“每台冰箱应降价多少元”.由于学生解应用题基本上是问什么设什么，所以学生较难想到“设每台冰箱降价x元”.那么能否直接设未知数呢？
方法2 如果设每台冰箱的定价为x元，(因为是降价，所以x<2900)，那么每台冰箱降价（2900-x）元，每台冰箱的销售利润为 (x-2500)元，平均每天销售冰箱的数量为：（8+4×2900-x50）台，这样就可以列出一元二次方程：
(x-2500)（8+4×2900-x50）=5000,
整理得：(x-2500)(240-225x)=5000
即：225x2-440x+605 000=0,
解得x1=x2=2750.
每台冰箱的定价为2750元.
方法1所列方程比方法2所列方程较简便, 由于是间接设未知数,学生难以想到. 而方法2虽然是直接设未知数，学生不会有困难，但要用含x的代数式表示出：（1）每台冰箱降价多少元，（2）每台冰箱的销售利润是多少，（3）平均每天销售冰箱的数量；就有一定的困难.笔者在教学中让学生先动笔、再充分思考、交流、讨论，然后形成正确答案.
2 推广1
如果将原题改为“当销售价每上涨50元时，平均每天少售出4台.”其它条件不变.
方法1 如果设每台冰箱涨价x元，那么每台冰箱的定价就是（2900+x）元，每台冰箱的销售利润为(2900+x-2500)元，平均每天销售冰箱的数量为（8-4x50）台，这样就可以列出一元二次方程：
(2900+x-2500)(8-4x50)=5000,
整理得：225x2+24 x+1800=0,
解得x1=x2=-150 ，涨价-150元实为降价150元
每台冰箱的定价是2900+(-150)=2750 元, 从而使问题得到解决.
方法2 设每台冰箱的定价为x元，(因为是涨价，所以x>2900)，那么每台冰箱涨价（x-2900）元，每台冰箱的销售利润为 (x-2500)元，平均每天销售冰箱的数量为:（8-4×x-290050）台. 这样就可以列出一元二次方程：
(x-2500)（8-4×x-290050）=5000,
整理得：(x-2500)(240-225x)=5000,
即：225x2-440 x+605 000=0,
解得x1=x2=2750.
每台冰箱的定价为2750元.
但由于原销售价为2900元，2750-2900=-150，实为降价150元.
推广1与原题一样，即“当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台”与“当销售价每上涨50元时，平均每天少售出4台.”其结果是一样的.
3 推广2
九年级（下）学习第二章 “二次函数” 何时获得最大利润时，笔者把原题推广到二次函数求最大（小）值问题.
新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，请你帮助分析，销售定价为多少时，可以获得最大利润？ 最大利润是多少？
方法1 设每台冰箱降价x元，所获得的利润为y元，那么每台冰箱的定价就是（2900-x）元，每台冰箱的销售利润为(2900-x-2500)元，平均每天销售冰箱的数量为（8+4x50）台，所列出的二次函数为：
y =(2900-x-2500)（8+4x50）,
整理得：y=-225x2+24 x+3200,
因为a=-225<0,所以y有最大值.
当x=-242×(-225)=150时，y的最大值为5000，即每台冰箱的定价为2900-150=2750元时，可以获得最大利润，最大利润是5000元.
方法2 设每台冰箱的定价为x元，所获得的利润为y元，那么每台冰箱降价（2900-x）元，每台冰箱的销售利润为:(x-2500)元，平均每天销售冰箱的数量为：
（8+4×2900-x50）台，列出的二次函数为：
y = (x-2500)（8+4×2900-x50）
整理得：y = (x-2500)(240-225x) ,
即y=-225x2+440 x-600 000
因为a=-225<0,所以y有最大值，
当x=-4402×(-225)=2750时，y的最大值为5000，即每台冰箱的定价为2750元时，可以获得最大利润，最大利润是5000元.
4 总结
以上一元二次方程均有两个相等的实数根，由于方法1中的点（150，5000）和方法2中的点（2750，5000）均为二次函数的图象（抛物线）的顶点坐标，所以原题的5000元利润即为最大利润.
作者简介 黄业乐,男,江西省大余县人，1960年11月生.中学高级教师. 主要研究初中数学教学方法及解题方法论. 多篇教研论文在国家、省、市、县级刊物发表及获市、区、街道奖励.