随着计算机技术的快速发展,计算数学家和计算流体力学家对于流体力学方程的高精度、高计算效率的数值算法需求愈加迫切。数值方法稳定性、精度、超收敛性等诸多性质的严格数值分析不仅可为数值方法计算效果提供坚实的理论基础,也能为普适、高效数值算法的设计与改进提供重要的参考依据。作为一类重要的高精度方法,间断有限元方法以其捕捉激波的准确性、处理复杂边界问题的灵活性及网格尺寸的自适应性在诸多领域得到广泛应用。本文将针对一类变系数双曲方程、非线性扩散方程及非线性对流扩散方程,本文研究基于偏迎风及广义交替流通量间断有限元方法的稳定性及最优误差估计。数值流通量的选取对于间断有限元方法稳定性、精度及超收敛性具有重要影响。与传统数值流通量相比,广义流通量具有灵活可调的数值粘性参数,这对于激波的捕捉和光滑解的高精度模拟都具有重要作用,而且对于高阶波动方程,可针对对流流通量选取偏顺风的流通量,通过与色散项的数值粘性相抵消,从而得到能量守恒的间断有限元方法,这能够显著提升波的长时间数值模拟准确性。本文关于广义数值流通量间断有限元方法的系统研究不仅将拓宽间断有限元方法的应用范围,还将对更多的工程问题(如大涡模拟等)具有重要的指导意义。首先,对于一类二维线性变系数双曲方程,研究了基于广义偏迎风流通量间断有限元方法的稳定性及最优误差估计。通过构造合适的数值流通量,得到了格式的稳定性。同时,根据物理流通量函数的系数变化构造了特殊的分片全局投影,利用不同的边界匹配条件证得了投影的最优误差估计性质。虽然该投影无法完全消除投影误差项,但通过结合笛卡尔网格的特殊结构可以得到关于投影误差项的超收敛结果。二维变系数情形的算例验证了理论结果的正确性及有效性。其次,对于一类一维非线性及变系数扩散方程,提出了基于广义交替流通量的局部间断有限元方法。为完全消除投影误差项,构造了分片全局投影及其修正投影,并给出了投影的存在唯一性及最优投影误差估计性质。通过定义的投影,可以证明局部间断有限元方法数值解的最优误差估计結果。最后,对于一类一维非线性对流扩散方程,提出了基于局部Lax–Friedrichs流通量和广义流通量的局部间断有限元方法。改进了中心流通量的形式,使用了一个结构更加简单的广义流通量,从而对数值格式作出了简化。针对局部间断有限元方法使用不同数值流通量的数值解,给出了最优误差估计结论。特殊定义的投影、先验假设条件以及局部线性化技巧在误差估计的分析中起到了至关重要的作用。本文针对以上各项内容都进行了数值实验,结果表明本文中理论分析的结论是正确有效的。