自从丹麦数学家H.Bohr在1925-1926年间建立概周期函数理论以来,经过几代数学家的努力,该理论有了巨大的发展,但是还有许多有待解决的问题.首先,抽象空间中的概周期函数理论已经被广泛研究,伪概周期函数作为概周期函数的一种推广,在微分方程理论中有重要的应用,但是距离空间中的伪概周期函数理论尚未建立.本文首次在距离空间中定义了向量值伪概周期函数,考察了该函数的性质,给出了距离空间中的函数是伪概周期函数的充要条件,即唯一分解定理:距离空间中的伪概周期函数和概周期函数之间的距离是一个唯一的遍历扰动.其次,求微分方程的概周期函数型解和概周期微分方程的求解在数学理论方面饶有兴趣,在常微分,偏微分方程及抽象微分方程,光滑动力系统都有应用.本文研究了非线性抛物方程有界解的存在唯一问题.主要通过先验证非齐次Cauchy问题有界解是存在唯一的,并得出解的表达式,应用这个表达式及压缩映像不动点定理证明非线性Cauchy问题的有界解是存在的,并给出了解存在的条件.最后,本文讨论了Fréchet空间中的渐近概周期函数和算子半群的性质,并将得到的结果应用到抽象Cauchy问题中,得出Fréchet空间中抽象Cauchy问题的渐近概周期解是存在且唯一的.