解的存在性问题有很多种研究方法，如不动点方法，拓扑度方法等.我们主要是采用变分方法.变分法问题有着极为丰富的源泉，从经典力学到场论，其中所研究的一切物质的运动规律都遵从“变分原理”，即存在着某个泛函，使得对应的运动方程是它的Euler方程，因此，求这些Euler方程的解就转化为寻求对应泛函的临界点. 古典变分法理论旨在确定泛函的极值和极值点.由此产生了极小化序列方法及泛函的下半连续性方法，延续到今天依然是研究泛函极值问题的基本手段.为了从泛函本身的性态判定出未必是极值点的临界点，极小化序列方法已不再适用，由此产生了大范围变分法.早在上个世纪二，三十年代，就分别提出了两种联系紧流形上函数的临界点的行为与流形自身拓扑性质的理论.通过这些联系，用流形自身的拓扑不变量可以估计出其上的函数临界点的个数.同时出现了Morse理论和畴数理论.而到了五，六十年代，人们对非线性积分方程进行了研究，并把Morse理论和畴数理论推广到无穷维流形上.这些都为临界点理论推广应用到分析问题上作出了必要的准备.到了七，八十年代，变分理论又有了重大的进展，一方面前述理论更深入地应用到更多的微分方程问题上，在方法上有了新的发展；另一方面，由A.Ambrosetti和P.H.Rabinowitz在1973年提出的山路引理(Mountain Passlemma)又引出了一系列新的极大极小值定理，这些定理可以处理既无上界又无下界的泛函的变分问题.山路引理在解的存在性方面起了重要的作用，是-个很有用的定理.除了山路引理外还有环绕定理[7]等都是研究解的存在性的重要定理. 山路引理及各种山路定理的建立，特别是它们在非线性微分方程各种问题的应用中取得了许多很有意义的新结果，吸引了不少的数学家从事临界点理论的研究，从而使临界点理论及其应用的成果在近20多年取得了重大的进展. 本文主要是考虑了半线性椭圆方程： 本文共分四章. 绪论，介绍上述非线性椭圆问题的研究背景. 第一章，介绍Sobolev空间的一些基本知识，基本引理以及一些记号说明以便后面各节的引用. 第二章，运用环绕定理以及精确估计来讨论一类半线性椭圆方程，由于方程在零点具有奇性，我们给出了条件(1)，(2)以及-些引理，我们得到如下的结论，其中-个是在-个适当的小球内达到局部极小，另-个是通过Mountain-Pass定理，集中紧原理得出的，第三个是在0≤μ<-μ，N≥3，00，方程(Pε)存在两个非负解.进一步，如果h满足(h0)，(h2)，则这两个解是正解. 事实上，方程(Pε)可以看成是方程 因此，我们可以得出另-个结论: 定理3.1.2假设^是连续的泛函并且满足(h1)，(h2)w:=supp h是紧的，则存在ε1>0，μ1>0和ζ1∈RN，使得对所有的|ε|<ε1，当ε→0时，方程(Pε)有-个正解u1，ε，且u1，ε→zμ，ζ. 第四章，结论.