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摘 要: 小学数学课堂建构数学模型,是小学数学课程标准的要求,是数学工具性的的具体体现,是培养学生探索精神、创新精神的需要。本文阐述了构建数学模型的本质特征及其意义方法,意义在于培养学生主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究,发展学生搜集和处理信息的能力,以及交流与合作的能力。
关键词: 小学数学课堂建构 数学模型 任务
数学课程标准在学习内容上,安排了“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”“实践与综合应用”四块学习领域,强调学生的数学活动,发展学生的数感、符号感、空间观念,以及应用意识与推理的能力。这些内容中最重要的部分,就是数学模型。所谓数学模型指的是对数学知识进行简化和提炼、再通过数学语言、符号或图形等形式对其进行概括与归纳、描述、反映特定的问题或具体事物之间关系的数学结构。在小学阶段,数学模型的表现形式为一系列的概念系统、算法系统、关系、定律、公理系统等。在教学过程中,许多教师都在有意识或无意识地建构数学模型,学生也在有意识或无意识地建构数学模型、对数学模型的建构,理解和把握成为提高课堂教学效率的重要因素。
一、构建数学模型体现了数学教学的本质特征。
1.在小学阶段,数学模型的表现形式为一系列的概念系统、算法系统、关系、定律、公理系统等,这些都是学生学习的重要内容。可以这样说,学生学习数学知识的过程,实际上是对一系列数学模型的理解、把握过程。例如,在小学数学中,几何初步知识很重要的一块内容是多边形的面积,平行四边形、三角形、梯形的面积公式,需要教师引导学生剪一剪、拼一拼,架起新旧知识连接的桥梁,从而推导出相应的面积公式。学生自己建立了相关的数学模型,获得了建立这些模型的方法,就为进一步学习奠定了基础。同样,概念系统和算法系统本身是重要的数学模型,又是构建其他数学模型的基础,学生对这些知识的把握是至关重要的。所以说,构建并把握好以上模型,正是把握住了数学学习的根本。
2.学生在探索、获得数学模型的过程中,也同时获得了构建数学模型、解决实际问题的思想、程序与方法,而这对学生的发展来说,其意义远大于仅仅获得某些数学知识。研究数学问题的模式,可以表征为:抽象—符号—应用。荷兰数学家弗赖登塔尔把这个过程称之为“数学化”。数学化的过程,正是学生学会学习的过程,也是学生获得发展性学力的过程。
二、数学模型是建立在数学一般的基础知识与应用数学知识之间的一座重要的桥梁。
构建数学模型的过程,就是指从数学的角度发现问题、展开思考,通过新旧知识间的转化过程,归结为一类已经解决或较易解决的问题中去,再综合运用已有的数学知识与技能解决这一类问题。这是在平时的数学教学中,教师应该着重培养学生所具备的一种数学思想和方法,就是将数学理论知识应用于实际问题的思想和方法。构建模型更为重要的是强调用真实的情景展示问题,营造解决问题的环境,以帮助学生在解决问题的过程中活化知识,变事实性知识为解决问题的工具。学生在探索、获得数学模型的过程中,能同时获得建构数学模型、解决实际问题的思想与方法,而这对学生的发展来说,其意义远大于仅仅获得某些数学知识。
三、构建数学模型是数学研究性学习的有效形式。
传统教学重视纯知识的教学,忽视能力的培养;重视书本知识和技能的训练,忽视社会实践能力的培养;重视学科课程的教学,忽视活动课程的开发;学生所学知识与实际应用之间严重脱节,对问题解决的方法习惯于单一化,灵活性多样性不够,对复杂的变化因素不能够准确深刻地把握,抑制思维,不利于培养创新精神和实践能力。构建和处理数学模型的过程,就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。在构建模型,形成新的数学知识的过程中,学生能更加体会到数学与大自然和社会的联系,让学生从现实问题情景中学数学、做数学、用数学。只有这样,数学教学中的“问题解决”才有了相应的环境与氛围。构建数学模型,研究数学模型,正是问题解决过程中的中心环节,是决定问题解决程度如何的关键。
四、建构数学模型的方法
1.建构数学模型应该让学生大胆地去猜想,再在直观的事例中进行具体的分析。
猜想是一种带有一定直觉性的比较高级的思维方式,对于探索或发现性学习来说,猜想是一种非常重要的思维方法。在教学生一些数学定理之前,我们不妨让他们根据已有的知识大胆地去猜想一下这个定理。例如:在学生在掌握了长方形、正方形、平行四边形、三角形等平面图形面积计算的推导过程和计算方法之后,在教学梯形的面积计算时,教师可以让学生大胆地猜想一下它的面积计算可能会和谁有关,根据以往所学的知识,学生应该会想到转化的数学思想,推测出可能会与平行四边形的面积计算有关,再让学生从教师所提供的各种各样的梯形材料中进行研究,从直观的图形中开展具体地分析,从而找出其内在的联系与规律,最终得出结论。
2.建构数学模型应该让学生在许多直观或贴近生活的实例中进行有效的综合比较。
综合是指学生在学习的过程中将数学现象、数学实例的分析情况进行整理组合,从而形成对这一类数学知识的总体认识。比较是对有关的数学现象、数学实例,区别它们的相同之处和不同之处。数学中的比较是多方面的,包括多少与大小的比较,相同与不同的比较,结构与关系的比较,定律与性质的比较,等等。比较的目的是认识事物的联系与区别,明确彼此之间存在的同一性与相似性,一边解释其背后的共同模型。例如:在教学《生活中的百分率》时,我先由死海的含盐率引出,再给出许多相关的实例,比如:出勤率、合格率、成活率、及格率、发芽率、出粉率等。学生通过综合得出以上这些都是生活中的百分率,都是求部分量占总量的百分之几。再通过比较得出虽然都是百分率,也各有各的不同,含盐率是指盐的重量占盐水重量的百分之几,而出勤率则是指实际出勤的人数占应出勤总人数的百分之几。
3.建构数学模型应该让学生从具体的实例中抽象出它们所具有的共性,再用数学的语言或符号等进行概括。
抽象是从许多数学实例或数学现象中,发现其共同的本质特点。而概括则是把抽象出来的共同点用数学的语言或符号等形式进行归纳和总结。例如:在教学分数与除法之间的关系,通过大量的实例使学生从中抽象出它们的共性是:被除数÷除数=被除数/除数,最终用数学符号概括出:a÷b=a/b(b≠0)的结论。
4.建构数学模型一定要让学生进行充分地验证,得出结论之后再进行有效的应用。
在学生初步得出结论时,教师要给予足够的空间让学生进行充分地验证,在验证的过程中可能会发现新的现象,并在解决新问题的过程中,进一步完善自己的猜想,最终发现规律得出结论,并运用这个规律解决更多的实际问题。这不仅是一个主动学习的过程,而且是发现学习、创新学习的过程。例如:在教学三角形面积时,学生用两个完全一样的锐角三角形拼成了一个平行四边形,并通过分析、抽象、概括出了之间的规律。这时我提出:那直角三角形或钝角三角形是不是也是这样呢?学生再通过充分的操作进行验证,从而得出只要是两个完全相同的三角形就能拼成一个平行四边形,都具备以上的规律。同时学生还发现两个直角三角形拼成的不仅是平行四边形,而且是一个长方形,两个等腰直角三角形拼成的不仅是一个长方形,而且是一个特殊的长方形,即正方形。
关键词: 小学数学课堂建构 数学模型 任务
数学课程标准在学习内容上,安排了“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”“实践与综合应用”四块学习领域,强调学生的数学活动,发展学生的数感、符号感、空间观念,以及应用意识与推理的能力。这些内容中最重要的部分,就是数学模型。所谓数学模型指的是对数学知识进行简化和提炼、再通过数学语言、符号或图形等形式对其进行概括与归纳、描述、反映特定的问题或具体事物之间关系的数学结构。在小学阶段,数学模型的表现形式为一系列的概念系统、算法系统、关系、定律、公理系统等。在教学过程中,许多教师都在有意识或无意识地建构数学模型,学生也在有意识或无意识地建构数学模型、对数学模型的建构,理解和把握成为提高课堂教学效率的重要因素。
一、构建数学模型体现了数学教学的本质特征。
1.在小学阶段,数学模型的表现形式为一系列的概念系统、算法系统、关系、定律、公理系统等,这些都是学生学习的重要内容。可以这样说,学生学习数学知识的过程,实际上是对一系列数学模型的理解、把握过程。例如,在小学数学中,几何初步知识很重要的一块内容是多边形的面积,平行四边形、三角形、梯形的面积公式,需要教师引导学生剪一剪、拼一拼,架起新旧知识连接的桥梁,从而推导出相应的面积公式。学生自己建立了相关的数学模型,获得了建立这些模型的方法,就为进一步学习奠定了基础。同样,概念系统和算法系统本身是重要的数学模型,又是构建其他数学模型的基础,学生对这些知识的把握是至关重要的。所以说,构建并把握好以上模型,正是把握住了数学学习的根本。
2.学生在探索、获得数学模型的过程中,也同时获得了构建数学模型、解决实际问题的思想、程序与方法,而这对学生的发展来说,其意义远大于仅仅获得某些数学知识。研究数学问题的模式,可以表征为:抽象—符号—应用。荷兰数学家弗赖登塔尔把这个过程称之为“数学化”。数学化的过程,正是学生学会学习的过程,也是学生获得发展性学力的过程。
二、数学模型是建立在数学一般的基础知识与应用数学知识之间的一座重要的桥梁。
构建数学模型的过程,就是指从数学的角度发现问题、展开思考,通过新旧知识间的转化过程,归结为一类已经解决或较易解决的问题中去,再综合运用已有的数学知识与技能解决这一类问题。这是在平时的数学教学中,教师应该着重培养学生所具备的一种数学思想和方法,就是将数学理论知识应用于实际问题的思想和方法。构建模型更为重要的是强调用真实的情景展示问题,营造解决问题的环境,以帮助学生在解决问题的过程中活化知识,变事实性知识为解决问题的工具。学生在探索、获得数学模型的过程中,能同时获得建构数学模型、解决实际问题的思想与方法,而这对学生的发展来说,其意义远大于仅仅获得某些数学知识。
三、构建数学模型是数学研究性学习的有效形式。
传统教学重视纯知识的教学,忽视能力的培养;重视书本知识和技能的训练,忽视社会实践能力的培养;重视学科课程的教学,忽视活动课程的开发;学生所学知识与实际应用之间严重脱节,对问题解决的方法习惯于单一化,灵活性多样性不够,对复杂的变化因素不能够准确深刻地把握,抑制思维,不利于培养创新精神和实践能力。构建和处理数学模型的过程,就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。在构建模型,形成新的数学知识的过程中,学生能更加体会到数学与大自然和社会的联系,让学生从现实问题情景中学数学、做数学、用数学。只有这样,数学教学中的“问题解决”才有了相应的环境与氛围。构建数学模型,研究数学模型,正是问题解决过程中的中心环节,是决定问题解决程度如何的关键。
四、建构数学模型的方法
1.建构数学模型应该让学生大胆地去猜想,再在直观的事例中进行具体的分析。
猜想是一种带有一定直觉性的比较高级的思维方式,对于探索或发现性学习来说,猜想是一种非常重要的思维方法。在教学生一些数学定理之前,我们不妨让他们根据已有的知识大胆地去猜想一下这个定理。例如:在学生在掌握了长方形、正方形、平行四边形、三角形等平面图形面积计算的推导过程和计算方法之后,在教学梯形的面积计算时,教师可以让学生大胆地猜想一下它的面积计算可能会和谁有关,根据以往所学的知识,学生应该会想到转化的数学思想,推测出可能会与平行四边形的面积计算有关,再让学生从教师所提供的各种各样的梯形材料中进行研究,从直观的图形中开展具体地分析,从而找出其内在的联系与规律,最终得出结论。
2.建构数学模型应该让学生在许多直观或贴近生活的实例中进行有效的综合比较。
综合是指学生在学习的过程中将数学现象、数学实例的分析情况进行整理组合,从而形成对这一类数学知识的总体认识。比较是对有关的数学现象、数学实例,区别它们的相同之处和不同之处。数学中的比较是多方面的,包括多少与大小的比较,相同与不同的比较,结构与关系的比较,定律与性质的比较,等等。比较的目的是认识事物的联系与区别,明确彼此之间存在的同一性与相似性,一边解释其背后的共同模型。例如:在教学《生活中的百分率》时,我先由死海的含盐率引出,再给出许多相关的实例,比如:出勤率、合格率、成活率、及格率、发芽率、出粉率等。学生通过综合得出以上这些都是生活中的百分率,都是求部分量占总量的百分之几。再通过比较得出虽然都是百分率,也各有各的不同,含盐率是指盐的重量占盐水重量的百分之几,而出勤率则是指实际出勤的人数占应出勤总人数的百分之几。
3.建构数学模型应该让学生从具体的实例中抽象出它们所具有的共性,再用数学的语言或符号等进行概括。
抽象是从许多数学实例或数学现象中,发现其共同的本质特点。而概括则是把抽象出来的共同点用数学的语言或符号等形式进行归纳和总结。例如:在教学分数与除法之间的关系,通过大量的实例使学生从中抽象出它们的共性是:被除数÷除数=被除数/除数,最终用数学符号概括出:a÷b=a/b(b≠0)的结论。
4.建构数学模型一定要让学生进行充分地验证,得出结论之后再进行有效的应用。
在学生初步得出结论时,教师要给予足够的空间让学生进行充分地验证,在验证的过程中可能会发现新的现象,并在解决新问题的过程中,进一步完善自己的猜想,最终发现规律得出结论,并运用这个规律解决更多的实际问题。这不仅是一个主动学习的过程,而且是发现学习、创新学习的过程。例如:在教学三角形面积时,学生用两个完全一样的锐角三角形拼成了一个平行四边形,并通过分析、抽象、概括出了之间的规律。这时我提出:那直角三角形或钝角三角形是不是也是这样呢?学生再通过充分的操作进行验证,从而得出只要是两个完全相同的三角形就能拼成一个平行四边形,都具备以上的规律。同时学生还发现两个直角三角形拼成的不仅是平行四边形,而且是一个长方形,两个等腰直角三角形拼成的不仅是一个长方形,而且是一个特殊的长方形,即正方形。