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本篇论文讨论如何将局部极小极大正交(LMMO)方法应用于Banach空间中，并且将LMMO方法应用于解决非合作型椭圆偏微分方程组的Eigenpair问题。应用Rayleigh quotient公式，使得求解方程的Eigenpair问题转化为求解相应能量泛函的临界点问题。在满足iso-homogeneous限制条件时，求解非合作型椭圆偏微分方程组的Eigenpair问题被证明是与寻找能量泛函的临界点及临界值的问题等价。
在构建算法时，不同于Hilbert空间中的梯度，在Banach空间中利用伪梯度作为搜索方向，并且对伪梯度进一步做投影操作，使得迭代更新后的函数避免落入已经得到的解空间。在引入L-⊥选择函数的定义及修正的伪梯度的存在性证明后，文章证明了步长引理，同时给出Banach空间中临界点（鞍点）的刻画定理。结合步长引理给出Banach空间中求解方程组的LMMO算法，并且讨论了算法实现的过程中需要处理的关键性问题。最后，我们根据算法给出了计算实例及相应的数值结果。