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最近,四阶抛物方程因其在现代应用科学中的广泛应用越来越受到人们的关注,如用于研究相变的Cahn-Hilliard方程,描述固体表面微滴的扩散过程的薄膜thin film方程,模拟半导体电荷运输的量子流体力学,quantum hydrodynamics方程(参见文献[2,6,8]),及量子Langevin方程,即Heisenberg[参见文献4]等.
本文主要考虑一维空间中四阶抛物方程组柯西问题整体解的存在性和大时间行为.方程组如下：
Pt-p(p)xx+ε2(p(√p)xx)/√px)x+(pφx)x=0,t>0,nt-q(n)xx+ε2(n(√n)xx/√n)x)x-(nφx)x=0,t>0,φxx=p-n-C*, t>0,(P,n)(x,0)=(P0,n0)(x), x∈R.
其中E=∫x-∞(P-n-C*)dξ,C*>0为-常数.
我们证明了以下主要结果：
定理1假设p,u,E满足P0>0,n0>0,p0,n0∈H3(R),E0∈L2(R)且P0(±∞)=p,n0(±∞)=n,p-n-C*=0,p(+∞)=p(-∞),n(+∞)=n(-∞),p(p)>0,q(n)>0,p(p)=q(n),以及‖p0-p‖H3(R),‖n0-p‖H3(R),‖E0‖L2(R)充分小,则对AT>0,初值问题(0.1)有唯一的整体强解(P,n)满足P-p∈L∞(0,+∞；H3(R))∩L2(0,+∞；H5(R)),(0.2)n-n∈L∞(0,+∞；H3(R))∩L2(0,+∞；H5(R)).(0.3)此外,整体解(p,n)在时间充分大时,渐近趋向状态p,‖ exk(p-p)‖2≤C(1+t)-1/2+(1+k),t→∞,k=0,1,2,3,(0.4)‖ exk(n-n)‖2≤C(1+t)-1/2+(1+k),t→∞,k=0,1,2,3,(0.5)‖ ejxE‖22≤Ce-αt,t→∞,j=0,1,2, (0.6)?
注1:本文采用的分析方法可以推广到高维空间的情形.
注2：本文假设p(p)=q(n),下一步的工作是研究更一般的情况p(p)≠q(n),p-n-c*=0或p(p)≠q(n).